알고리즘을 좋아하는 나

국가의 역할 중 하나는 여러 지방의 예산요청을 심사하여 국가의 예산을 분배하는 것이다. 국가예산의 총액은 미리 정해져 있어서 모든 예산요청을 배정해 주기는 어려울 수도 있다. 그래서 정해진 총액 이하에서 가능한 한 최대의 총 예산을 다음과 같은 방법으로 배정한다.

1. 모든 요청이 배정될 수 있는 경우에는 요청한 금액을 그대로 배정한다.
2. 모든 요청이 배정될 수 없는 경우에는 특정한 정수 상한액을 계산하여 그 이상인 예산요청에는 모두 상한액을 배정한다. 상한액 이하의 예산요청에 대해서는 요청한 금액을 그대로 배정한다. 

예를 들어, 전체 국가예산이 485이고 4개 지방의 예산요청이 각각 120, 110, 140, 150이라고 하자. 이 경우, 상한액을 127로 잡으면, 위의 요청들에 대해서 각각 120, 110, 127, 127을 배정하고 그 합이 484로 가능한 최대가 된다. 

여러 지방의 예산요청과 국가예산의 총액이 주어졌을 때, 위의 조건을 모두 만족하도록 예산을 배정하는 프로그램을 작성하시오.

첫째 줄에는 지방의 수를 의미하는 정수 N이 주어진다. N은 3 이상 10,000 이하이다. 다음 줄에는 각 지방의 예산요청을 표현하는 N개의 정수가 빈칸을 사이에 두고 주어진다. 이 값들은 모두 1 이상 100,000 이하이다. 그 다음 줄에는 총 예산을 나타내는 정수 M이 주어진다. M은 N 이상 1,000,000,000 이하이다. 

첫째 줄에는 배정된 예산들 중 최대값인 정수를 출력한다. 

월드컵 축구의 응원을 위한 모임에서 회장을 선출하려고 한다. 이 모임은 만들어진지 얼마 되지 않았기 때문에 회원 사이에 서로 모르는 사람도 있지만, 몇 사람을 통하면 모두가 서로 알 수 있다. 각 회원은 다른 회원들과 가까운 정도에 따라 점수를 받게 된다.

예를 들어 어느 회원이 다른 모든 회원과 친구이면, 이 회원의 점수는 1점이다. 어느 회원의 점수가 2점이면, 다른 모든 회원이 친구이거나 친구의 친구임을 말한다. 또한 어느 회원의 점수가 3점이면, 다른 모든 회원이 친구이거나, 친구의 친구이거나, 친구의 친구의 친구임을 말한다.

4점, 5점 등은 같은 방법으로 정해진다. 각 회원의 점수를 정할 때 주의할 점은 어떤 두 회원이 친구사이이면서 동시에 친구의 친구사이이면, 이 두사람은 친구사이라고 본다.

회장은 회원들 중에서 점수가 가장 작은 사람이 된다. 회장의 점수와 회장이 될 수 있는 모든 사람을 찾는 프로그램을 작성하시오.

입력의 첫째 줄에는 회원의 수가 있다. 단, 회원의 수는 50명을 넘지 않는다. 둘째 줄 이후로는 한 줄에 두 개의 회원번호가 있는데, 이것은 두 회원이 서로 친구임을 나타낸다. 회원번호는 1부터 회원의 수만큼 붙어 있다. 마지막 줄에는 -1이 두 개 들어있다.

첫째 줄에는 회장 후보의 점수와 후보의 수를 출력하고, 두 번째 줄에는 회장 후보를 오름차순으로 모두 출력한다.

두 자연수 N과 P를 가지고  다음 과정을 거쳐서 나오는 숫자들을 차례대로 출력해보자. 처음 출력하는 숫자는 N이고, 두 번째 이후 출력하는  숫자들은 N을 곱하고 P로 나눈 나머지를 구하는 과정을 반복하여 구한다. 즉, 먼저 N에 N을 곱하고, 이 수를 P로 나눈 나머지를 두 번째에 출력한다. 다음에는 이 나머지에 N을 곱하고 P로 나눈 나머지를 출력한다. 다음에는 이 나머지에 N을 곱한 후 P로 나눈 나머지를 출력한다. 이 과정을 계속 반복해보면 출력되는 숫자들에는 반복되는 부분이 있다. 

예를 들어서, N=67, P=31인 경우를 생각해보자. 처음 출력되는 숫자는 67이고, 두 번째로 출력되는 숫자는 67*67 = 4489를 31로 나눈 나머지 25이다. 다음에는 25*67 = 1675를 31로 나눈 나머지 1, 다음에는 1*67 = 67을 31로 나눈 나머지 5가 차례대로 출력된다. 다음에는 5*67 = 335를 31로 나눈 나머지 25가 출력되는데, 이 수는 이미 이전에 출력된 수이다. 이 과정을 그림으로 보이면 다음과 같다.

즉 이 과정을 반복하면, 처음 67을 제외하면 3개의 숫자 25, 1, 5가 계속 무한히 반복되게 된다.   또 다른 예로, N=9, P=3을 가지고 시작하면, 9*9 = 81이고 3으로 나눈 나머지는 0이며, 0*3 = 0이고 3으로 나눈 나머지도 0이기 때문에 처음 9를 제외하면 0이 무한히 반복되게 된다. 

N과 P를 입력받아 위와 같이 정의된 연산을 수행하였을 때,  반복되는 부분에 포함된 서로 다른 숫자의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

첫째 줄에 처음 시작하는  N과 P가 공백을 사이에 두고 주어진다. 단, 1<=N<=1,000, 2<=P<=97이다.  

첫째 줄에 반복되는 부분에 포함된 서로 다른 숫자의 개수를 출력한다.

행의 크기와 열의 크기가 각각 N인 격자공간에 M개의 점이 있다. N = 4이고 M = 4인 경우의 예가 아래에 있다. 격자공간 왼쪽의 숫자는 행 번호이며, 위의 숫자는 열 번호를 나타낸다. 그리고 격자공간내의 각 사각형의 위치는 (행 번호, 열 번호)로 표시한다

이제 격자공간에 있는 모든 점들을 하나의 사각형 안으로 모으려고 한다. 어떤 점을 움직일 때는 그 점이 들어있는 사각형에서 상하좌우로 인접한 사각형으로만 움직일 수 있다.

여기에서는 격자공간내의 한 사각형으로 모든 점들을 모을 때 각 점이 움직인 거리의 합을 고려한다. 예를 들어, 위의 점들을 (3,2)에 있는 사각형으로 모을 때 최단거리로 점들을 이동시킨다면 (1,2)에 있는 점의 이동거리는 2이고, (3,1)과 (4,2)에 있는 점의 이동거리는 각각 1이며, (1,4) 에 있는 점의 이동거리는 4이므로 점들이 움직인 거리의 합은 8이다. 또, 위의 모든 점들을 (1,2)의 위치로 모을 때도 점들이 이동한 거리의 합이 8 임을 알 수 있다. 위의 예에서는 점들을 어떤 하나의 사각형으로 모을 때 이동거리의 합이 8보다 작게 되는 사각형은 없다.

이 문제는 주어진 격자공간에 있는 모든 점들을 하나의 사각형으로 모을 때 드는 이동거리의 합의 최솟값을 구하는 것이다. 주어진 격자공간에서는 하나의 사각형에 여러 개의 점들이 들어 있을 수도 있고, 점들을 모을 때는 어떤 점이 들어 있는 사각형으로도 모을 수 있다고 가정한다.

첫 줄에는 격자공간의 크기와 점들의 개수를 나타내는 두 정수 N과 M이 하나의 공백을 사이에 두고 주어진다. 다음의 M줄에는 각 줄마다 격자공간내의 점의 위치를 나타내는 두 개의 정수가 하나의 공백을 사이에 두고 주어진다. 단, N의 크기는 1이상 10,000이하이고, M의 크기는 1이상 100,000이하이다.

여러분은 모든 점들을 하나의 사각형으로 모을 때 드는 이동거리의 합의 최솟값을 출력해야 한다.

대한 어린이집에 올해 입학한 어린이들이 놀이터에 한 줄로 서있다. 모든 어린이들에게는 입학할 때 주어진 번호가 있고 모두 옷에 번호표를 달고 있다. 그런데 어린이들은 아직 번호 순서대로 줄을 잘 서지 못하므로 선생님이 다음과 같은 방법을 사용해서 번호순서대로 줄을 세우려고 한다.

방법: 줄 서있는 어린이 중 한 명을 선택하여 제일 앞이나 제일 뒤로 보낸다.

위의 방법을 사용할 때 어린이가 이동해서 빈자리가 생기는 경우에는 빈자리의 뒤에 있는 어린이들이 한 걸음씩 앞으로 걸어와서 빈자리를 메꾼다.

예를 들어, 5명의 어린이들에게 1부터 5까지의 번호가 주어져 있고, 다음과 같은 순서로 줄서 있다고 하자. 

5 2 4 1 3

위 방법을 이용해서 다음과 같이 번호순서대로 줄을 세울 수 있다. 

(1) 1번 어린이를 제일 앞으로 보낸다. (5 2 4 1 3 → 1 5 2 4 3)

(2) 4번 어린이를 제일 뒤로 보낸다. (1 5 2 4 3 → 1 5 2 3 4)

(3) 5번 어린이를 제일 뒤로 보낸다. (1 5 2 3 4 → 1 2 3 4 5)

위의 예에서는 세 명의 어린이를 제일 앞이나 제일 뒤로 보내 번호순서대로 줄을 세웠다. 그리고 두 명 이하의 어린이를 제일 앞이나 제일 뒤로 보내는 방법으로는 번호순서대로 줄을 세울 수 없다. 그러므로 이 경우에는 최소한 세 명의 어린이를 이동하여야 번호순서대로 줄을 세울 수 있다.

이 문제는 처음에 줄서있는 상태에서 위 방법을 이용해서 번호순서대로 줄을 세울 때 앞이나 뒤로 보내는 어린이 수의 최솟값을 찾는 것이다.

입력은 2 개의 줄로 이루어져 있다. 첫 줄에는 어린이 수를 나타내는 정수가 주어진다. 둘째 줄에는 처음에 줄서있는 어린이들의 번호가 차례대로 주어진다. 주어진 번호들 사이에는 공백이 하나씩 들어있다. 단, 어린이 수는 1이상 1,000,000이하의 정수로 제한되고, 어린이 수가 N이면 어린이들의 번호는 1부터 N까지의 정수이다.

입력에서 주어진 어린이들의 줄에 대해 번호순서대로 줄을 세우기 위해 제일 앞이나 제일 뒤로 보내는 어린이 수의 최솟값을 출력해야 한다.

철수의 토마토 농장에서는 토마토를 보관하는 큰 창고를 가지고 있다. 토마토는 아래의 그림과 같이 격자모양 상자의 칸에 하나씩 넣은 다음, 상자들을 수직으로 쌓아 올려서 창고에 보관한다

창고에 보관되는 토마토들 중에는 잘 익은 것도 있지만, 아직 익지 않은 토마토들도 있을 수 있다. 보관 후 하루가 지나면, 익은 토마토들의 인접한 곳에 있는 익지 않은 토마토들은 익은 토마토의 영향을 받아 익게 된다. 하나의 토마토에 인접한 곳은 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽, 앞, 뒤 여섯 방향에 있는 토마토를 의미한다. 대각선 방향에 있는 토마토들에게는 영향을 주지 못하며, 토마토가 혼자 저절로 익는 경우는 없다고 가정한다. 철수는 창고에 보관된 토마토들이 며칠이 지나면 다 익게 되는지 그 최소 일수를 알고 싶어 한다.

토마토를 창고에 보관하는 격자모양의 상자들의 크기와 익은 토마토들과 익지 않은 토마토들의 정보가 주어졌을 때, 며칠이 지나면 토마토들이 모두 익는지, 그 최소 일수를 구하는 프로그램을 작성하라. 단, 상자의 일부 칸에는 토마토가 들어있지 않을 수도 있다

첫 줄에는 상자의 크기를 나타내는 두 정수 M,N과 쌓아올려지는 상자의 수를 나타내는 H 가 주어진다. M은 상자의 가로 칸의 수, N은 상자의 세로 칸의 수를 나타낸다. 단, 2 ≤ M ≤ 100, 2 ≤ N ≤ 100, 1 ≤ H ≤ 100 이다. 둘째 줄부터는 가장 밑의 상자부터 가장 위의 상자까지에 저장된 토마토들의 정보가 주어진다. 즉, 둘째 줄부터 N개의 줄에는 하나의 상자에 담긴 토마토의 정보가 주어진다. 각 줄에는 상자 가로줄에 들어있는 토마토들의 상태가 M개의 정수로 주어진다. 정수 1은 익은 토마토, 정수 0 은 익지 않은 토마토, 정수 -1은 토마토가 들어있지 않은 칸을 나타낸다. 이러한 N개의 줄이 H 번 반복하여 주어진다.

여러분은 토마토가 모두 익을 때까지 최소 며칠이 걸리는지를 계산해서 출력해야 한다. 만약, 저장될 때부터 모든 토마토가 익어있는 상태이면 0을 출력해야 하고, 토마토가 모두 익지는 못하는 상황이면 -1 을 출력해야 한다.

우리는 사람의 덩치를 키와 몸무게, 이 두 개의 값으로 표현하여 그 등수를 메겨보려고 한다. 어떤 사람의 몸무게가 x kg이고 키가 y cm라면 이 사람의 덩치는 (x,y)로 표시된다. 두 사람 A 와 B의 덩치가 각각 (x,y), (p,q)라고 할 때 x>p 그리고 y>q 이라면 우리는 A의 덩치가 B의 덩치보다 "더 크다"고 말한다. 예를 들어 어떤 A, B 두 사람의 덩치가 각각 (56,177), (45,165) 라고 한다면 A의 덩치가 B보다 큰 셈이 된다. 그런데 서로 다른 덩치끼리 크기를 정할 수 없는 경우도 있다. 예를 들어 두 사람 C와 D의 덩치가 각각 (45, 181), (55,173)이라면 몸무게는 D가 C보다 더 무겁고, 키는 C가 더 크므로, "덩치"만으로만 볼 때 C와 D는 누구도 상대방보다 더 크다고 말할 수 없다.

N명의 집단에서 각 사람의 덩치 등수는 자신보다 더 "큰 덩치"의 사람의 수로 정해진다. 만일 자신보다 더 큰 덩치의 사람이 k명이라면 그 사람의 덩치 등수는 k+1이 된다. 이렇게 등수를 결정하면 같은 덩치 등수를 가진 사람은 여러 명도 가능하다. 아래는 5명으로 이루어진 집단에서 각 사람의 덩치와 그 등수가 표시된 표이다.

위 표에서 C 보다 더 큰 덩치의 사람이 없으므로 C는 1등이 된다. 그리고 A, B, D 각각의 덩치보다 큰 사람은 C뿐이므로 이들은 모두 2등이 된다. 그리고 E보다 큰 덩치는 A, B, C, D 이렇게 4명이므로 E의 덩치는 5등이 된다. 위 경우에 3등과 4등은 존재하지 않는다. 여러분은 N명 학생들의 몸무게와 키가 담긴 입력파일을 읽어서 각 사람들의 덩치 등수를 계산하여 출력해야 한다.

첫 줄에는 전체 사람의 수 N이 주어진다. 그리고 이어지는 N개의 줄에는 각 사람의 몸무게와 키를 나타내는 양의 정수 x와 y가 하나의 공백을 두고 각각 나타난다. 단, 2 ≤ N ≤ 50, 10 ≤ x,y ≤ 200 이다.

여러분은 입력에 나열된 사람의 덩치 등수를 구해서 그 순서대로 첫 줄에 출력해야 한다. 단 각 덩치 등수는 공백문자로 분리되어야 한다

그릇을 바닥에 놓았을 때 그 높이는 10cm 이다. 그런데 두 개의 그릇을 같은 방향으로 포개면 그 높이는 5cm만 증가된다. 만일 그릇이 서로 반대방향으로 쌓이면 높이는 그릇만큼, 즉 10cm 늘어난다. 그릇을 괄호 기호로 나타내어 설명해보자. 편의상 그릇이 쌓여지는 방향은 왼쪽에서 오른쪽이라고 가정한다. 그림에서 ‘(’은 그릇이 바닥에 바로 놓인 상태를 나타내며, ‘)’은 그릇이 거꾸로 놓인 상태를 나타낸다.

만일 그릇이 포개진 모양이 아래 그림 1(a)와 같다면 전체의 높이는 25cm가 된다. 왜냐하면 처음 바닥에 있는 그릇의 높이가 10cm이고 이후 같은 방향으로 3개의 그릇이 포개져 있으므로 늘어난 높이는 5+5+5=15 이기 때문이다. 그림 1(b)와 같은 경우라면 그 높이는 10*4=40cm가 된다.

여러분은 입력에 주어진 모양대로 그릇을 쌓을 때 최종의 전체 그릇 높이를 계산해서 출력해야 한다. 즉 처음 입력으로 주어진 각 그릇의 방향은 바꿀 수 없다. 

첫 줄에는 괄호문자로만 이루어진 문자열이 주어진다. 입력 문자열에서 열린 괄호 ‘(’은 바로 놓인 그릇, 닫힌 괄호 ‘)’은 거꾸로 놓인 그릇을 나타난다. 문자열의 길이는 3이상 50 이하이다.

여러분은 그릇 방향이 괄호 문자로 표시된 문자열을 읽어서 그 최종의 높이를 정수로 출력해야 한다.

가로 길이가 w이고 세로 길이가 h인 2차원 격자 공간이 있다. 이 격자는 아래 그림처럼 왼쪽 아래가 (0,0)이고 오른쪽 위가 (w,h)이다. 이 공간 안의 좌표 (p,q)에 개미 한 마리가 놓여있다. 개미는 오른쪽 위 45도 방향으로 일정한 속력으로 움직이기 시작한다. 처음에 (p,q)에서 출발한 개미는 1시간 후에는 (p+1,q+1)로 옮겨간다. 단, 이 속력으로 움직이다가 경계면에 부딪치면 같은 속력으로 반사되어 움직인다.

위 그림은 6×4 격자에서 처음에 (4,1)에서 출발한 개미가 움직인 길을 보여주고 있다. 처음에 (4,1)에 있는 개미는 2시간 후에 (6,3)에 있으며 8시간 후에 (0,1)에 있다. 만일 그 개미가 처음에 (5,3)에 있었다면 매 시간마다 (6,4), (5,3), (4,2), (3,1)로 움직인다. 

여러분은 크기 w×h인 격자 공간에서 처음에 (p,q)에서 출발하는 개미의 t시간 후의 위치 (x,y)를 계산하여 출력해야 한다. 개미는 절대 지치지 않고 같은 속력으로 이동한다고 가정한다. 

문제에서 w와 h는 자연수이며 범위는 2 ≤ w,h ≤ 40,000이다. 그리고 개미의 초기 위치 p와 q도 자연수이며 범위는 각각 0 < p < w과 0 < q < h이다. 그리고 계산할 시간 t의 범위는 1 ≤ t ≤ 200,000,000이다. 

첫줄에는 w와 h가 공백을 사이에 두고 주어진다. 그 다음 줄에는 초기 위치의 좌표값 p와 q가 공백을 사이에 두고 주어진다. 3번째 줄에는 개미가 움직일 시간 t가 주어진다. 

출력은 t 시간 후에 개미의 위치 좌표 (x,y)의 값 x와 y를 공백을 사이에 두고 출력한다. 

어떤 공연장에는 가로로 C개, 세로로 R개의 좌석이 C×R격자형으로 배치되어 있다. 각 좌석의 번호는 해당 격자의 좌표 (x,y)로 표시된다. 

예를 들어보자. 아래 그림은 가로 7개, 세로 6개 좌석으로 구성된 7×6격자형 좌석배치를 보여주고 있다. 그림에서 각 단위 사각형은 개별 좌석을 나타내며, 그 안에 표시된 값 (x,y)는 해당 좌석의 번호를 나타낸다. 가장 왼쪽 아래의 좌석번호는 (1,1)이며, 가장 오른쪽 위 좌석의 번호는 (7,6)이다. 

이 공연장에 입장하기 위하여 많은 사람이 대기줄에 서있다. 기다리고 있는 사람들은 제일 앞에서부터 1, 2, 3, 4, . 순으로 대기번호표를 받았다. 우리는 대기번호를 가진 사람들에 대하여 (1,1)위치 좌석부터 시작하여 시계방향으로 돌아가면서 비어있는 좌석에 관객을 순서대로 배정한다. 이것을 좀 더 구체적으로 설명하면 다음과 같다.

먼저 첫 번째 사람, 즉 대기번호 1인 사람은 자리 (1,1)에 배정한다. 그 다음에는 위쪽 방향의 좌석으로 올라가면서 다음 사람들을 배정한다. 만일 더 이상 위쪽 방향으로 빈 좌석이 없으면 오른쪽으로 가면서 배정한다. 오른쪽에 더 이상 빈자리가 없으면 아래쪽으로 내려간다. 그리고 아래쪽에 더 이상 자리가 없으면 왼쪽으로 가면서 남은 빈 좌석을 배정한다. 이 후 왼쪽으로 더 이상의 빈 좌석이 없으면 다시 위쪽으로 배정하고, 이 과정을 모든 좌석이 배정될 때까지 반복한다. 

아래 그림은 7×6공연장에서 대기번호 1번부터 42번까지의 관객이 좌석에 배정된 결과를 보여주고 있다.

여러분은 공연장의 크기를 나타내는 자연수 C와 R이 주어져 있을 때, 대기 순서가 K인 관객에게 배정될 좌석 번호 (x,y)를 찾는 프로그램을 작성해야 한다. 

첫 줄에는 공연장의 격자 크기를 나타내는 정수 C와 R이 하나의 공백을 사이에 두고 차례대로 주어진다. 두 값의 범위는 5 ≤ C, R ≤ 1,000이다. 그 다음 줄에는 어떤 관객의 대기번호 K가 주어진다. 단 1 ≤ K ≤ 100,000,000이다.

입력으로 제시된 대기번호 K인 관객에게 배정될 좌석번호 (x,y)를 구해서 두 값, x와 y를 하나의 공백을 사이에 두고 출력해야 한다. 만일 모든 좌석이 배정되어 해당 대기번호의 관객에게 좌석을 배정할 수 없는 경우에는 0(숫자 영)을 출력해야 한다.